Urodził się 8 września 1908 r. w Śmiglu. W 1932 r. ożenił się z Haliną Muszyńską, miał 4 córki: Marię, Iwonę, Alodię i Darię oraz syna Krzysztofa. Do wybuchu wojny pracował na Uniwersytecie Poznańskim w Zakładzie Medycyny Społecznej, a następnie w Zakładzie Mikrobiologii Lekarskiej. Odkrył tzw. "Clarovac" - środek umożliwiający konserwowanie owoców i warzyw. Uruchomił także zakład produkujący nici operacyjne do szycia ran. 

We wrześniu 1939 jako jedyny lekarz opiekował się rannymi żołnierzami w szpitalu polowym we wsi Dobrzelin koło Żychlina w trakcie bitwy nad Bzurą. Od władz okupacyjnych uzyskał zezwolenie na prowadzenie praktyki lekarskiej. W swoim gabinecie pod pozorem przyjmowania pacjentów prowadził ożywioną działalność konspiracyjną. W latach 1940- 1942 był zastępcą dowódcy poznańskiej komórki Związku Odwetu oraz szefem komórki studiów i produkcji środków walki sabotażowo-dywersyjnej.

Grupa "Witaszkowców" organizowała w Poznaniu i w Wielkopolsce akcje sabotażowo-dywersyjne, m. in. akcję palenia niemieckich młynów i składów zbożowych, niszczenia magazynów wojskowych i transportów kolejowych przeznaczonych na front wschodni. Prowadzono również działania odwetowe wobec członków Gestapo, SS oraz wszelkiej maści kolaborantom. 

W dniu 25 kwietnia 1942 r. dr Witaszek został aresztowany przez gestapowców w swoim gabinecie lekarskim przy ul. Wrocławskiej. Po trzytygodniowym śledztwie prowadzonym w Domu Żołnierza, został przeniesiony do Fortu VII, gdzie przebywał w celi 66. Niemcy aresztowali również żonę Franciszką Witaszka Halinę, którą z marcu 1943 zesłano do obozu koncentracyjnego Auschwitz-Birkenau. Dwójka spośród piątki dzieci, pięcioletnia Alodia i czteroletnia Daria zostały wysłane do obozu koncentracyjnego dla dzieci w Łodzi. Po przejściu selekcji rasowej zostałem poddane germanizacji w ośrodku organizacji Lebensborn, tzn.”Gaukinderheim” w Kaliszu, a następnie w Połczynie Zdroju. Po zmianie nazwiska i sfałszowaniu metryk przez personel ośrodka, dziewczynki zostały przekazane do adopcji niemieckim rodzinom. Do Polski powróciły dopiero po wojnie. Pozostałą trójkę dzieci Witaszków – dziewięcioletnią Mariolę, siedmioletnią Iwonę oraz rocznego Krzysztofa, ukrywali członkowie rodziny. 

W dniu 8 stycznia 1943 r., po 9 miesiącach więzienia i ciężkich tortur oraz po odrzuceniu propozycji współpracy z Niemcami, doktor Witaszek został powieszony wraz z innymi członkami organizacji w celi nr 58. Wraz z nim zginęło również 30 członków organizacji – 24 mężczyzn i 6 kobiet. Ich ciała spalono; głowy czworga z nich zakonserwowano jako eksponaty badawcze. Głowę doktora Niemcy wstawili do słoja z formaliną z naklejoną informacją w jęz. niemieckim "Kopf eines intelligenten polnischen Massenmörders" (pol. "Głowa inteligentnego polskiego masowego mordercy").

25 listopada 1945 zidentyfikowane szczątki Franciszka Witaszka oraz jego współpracowników Henryka Günthera i Soni Górznej złożono na Cmentarzu Bohaterów Polskich w Poznaniu.